TOÁN RỜI RẠC
Lê Văn Luyện
email: lvluyen@yahoo.com
www.math.hcmus.edu.vn/~lvluyen/trr
Nội dung: gồm 5 phần
- Cơ sở logic
- Phép đếm
- Quan hệ
- Hàm Bool
- Đồ thị
Cơ sở Logic

Chương I: Cơ sở logic
Mệnh đề
Dạng mệnh đề
Qui tắc suy diễn
Vị từ, lượng từ
Tập hợp
Ánh xạ
Qui nạp toán học
Cơ sở Logic

I. Mệnh đề
1. Định nghĩa: Mệnh đề là một khẳng định có giá trị chân lý xác định, đúng hoặc sai.
Câu hỏi, câu cảm thán, mệnh lệnh… không là mệnh đề.

Ví dụ:
mặt trời quay quanh trái đất
1+1 =2
Hôm nay trời đẹp quá ! (ko là mệnh đề)
Học bài đi ! (ko là mệnh đề)
3 là số chẵn phải không? (ko là mệnh đề)



4
I. Mệnh đề
Ký hiệu: người ta dùng các ký hiệu P, Q, R… để chỉ mệnh đề.

Chân trị của mệnh đề:
Một mệnh đề chỉ có thể đúng hoặc sai, không thể đồng thời vừa đúng vừa sai. Khi mệnh đề P đúng ta nói P có chân trị đúng, ngược lại ta nói P có chân trị sai.
Chân trị đúng và chân trị sai sẽ được ký hiệu lần lượt là 1(hay Đ,T) và 0(hay S,F)
5
I. Mệnh đề
Kiểm tra các khẳng định sau có phải là mệnh đề không?
Paris là thành phố của Mỹ.
n là số tự nhiên.
con nhà ai mà xinh thế!
3 là số nguyên tố.
Toán rời rạc là môn bắt buộc của ngành Tin học.
Bạn có khỏe không?
luôn dương.

6
I. Mệnh đề
2. Phân loại: gồm 2 loại
a. Mệnh đề phức hợp: là mệnh đề được xây dựng từ các mệnh đề khác nhờ liên kết bằng các liên từ (và, hay, khi và chỉ khi,…) hoặc trạng từ “không”.
b. Mệnh đề sơ cấp (nguyên thủy): Là mệnh đề không thể xây dựng từ các mệnh đề khác thông qua liên từ hoặc trạng từ “không”.
Ví dụ:
2 không là số nguyên tố
2 là số nguyên tố (sơ cấp)
Nếu 3>4 thì trời mưa
An đang xem phim hay An đang học bài
Hôm nay trời đẹp và 1 +1 =3
7
I. Mệnh đề
3. Các phép toán: có 5 phép toán
a. Phép phủ định: phủ định của mệnh đề P được ký hiệu là P hay (đọc là “không” P hay “phủ định của” P).
Bảng chân trị :
Ví dụ :
- 2 là số nguyên tố
Phủ định: 2 không là số nguyên tố
- 1 >2
Phủ định : 1≤ 2
8
I. Mệnh đề
b. Phép nối liền (hội, giao): của hai mệnh đề P, Q được kí hiệu bởi P  Q (đọc là “P và Q”), là mệnh đề được định bởi : P  Q đúng khi và chỉ khi P và Q đồng thời đúng.

Bảng chân trị

Ví dụ:
- 3>4 và Trần Hưng Đạo là vị tướng (S)
- 2 là số nguyên tố và là số chẵn (Đ)
- An đang hát và uống nước (S)
9
I. Mệnh đề
c. Phép nối rời (tuyển, hợp): của hai mệnh đề P, Q được kí hiệu bởi P  Q (đọc là “P hay Q”), là mệnh đề được định bởi : P  Q sai khi và chỉ khi P và Q đồng thời sai.

Bảng chân trị
Ví dụ:
- p >4 hay p >5 (S)
- 2 là số nguyên tố hay là số chẵn (Đ)
10
I. Mệnh đề
Ví dụ
“Hôm nay, An giúp mẹ lau nhà và rửa chén”
“Hôm nay, cô ấy đẹp và thông minh ”
“Ba đang đọc báo hay xem phim”

11
I. Mệnh đề
d. Phép kéo theo: Mệnh đề P kéo theo Q của hai mệnh đề P và Q, kí hiệu bởi P  Q (đọc là “P kéo theo Q” hay “Nếu P thì Q” hay “P là điều kiện đủ của Q” hay “Q là điều kiện cần của P”) là mệnh đề được định bởi:
P  Q sai khi và chỉ khi P đúng mà Q sai.

Bảng chân trị
12
I. Mệnh đề
Ví dụ:
Nếu 1 = 2 thì Lenin là người Việt Nam (Đ)
Nếu trái đất quay quanh mặt trời thì 1 +3 =5 (S)
p >4 kéo theo 5>6 (Đ)
p < 4 thì trời mưa
Nếu 2+1=0 thì tôi là chủ tịch nước (Đ)
13
I. Mệnh đề
e. Phép kéo theo hai chiều: Mệnh đề P kéo theo Q và ngược lại của hai mệnh đề P và Q, ký hiệu bởi P  Q (đọc là “P nếu và chỉ nếu Q” hay “P khi và chỉ khi Q” hay “P là điều kiện cần và đủ của Q”), là mệnh đề xác định bởi:
P  Q đúng khi và chỉ khi P và Q có cùng chân trị

Bảng chân trị
14
I. Mệnh đề
Ví dụ:
2=4 khi và chỉ khi 2+1=0 (Đ)
6 chia hết cho 3 khi và chi khi 6 chia hết cho 2 (Đ)
London là thành phố nước Anh nếu và chỉ nếu thành phố HCM là thủ đô của VN (S)
p >4 là điều kiện cần và đủ của 5 >6 (Đ)
15
II. Dạng mệnh đề
1. Định nghĩa: là một biểu thức được cấu tạo từ:
- Các mệnh đề (các hằng mệnh đề)
- Các biến mệnh đề p, q, r, …, tức là các biến lấy giá trị là các mệnh đề nào đó
- Các phép toán , , , ,  và dấu đóng mở ngoặc ().
Ví dụ:
E(p,q) = (p q)

F(p,q,r) = (p  q)  (q r)
16
II. Dạng mệnh đề
Bảng chân trị của dạng mệnh đề E(p,q,r): là bảng ghi tất cả các trường hợp chân trị có thể xảy ra đối với dạng mệnh đề E theo chân trị của các biến mệnh đề p, q, r. Nếu có n biến, bảng này sẽ có 2n dòng, chưa kể dòng tiêu đề.
Ví dụ:
E(p,q,r) =(p q) r . Ta có bảng chân trị sau
17
II. Dạng mệnh đề
Mệnh đề E(p,q,r) =(p q) r theo 3 biến p,q,r có bảng chân trị sau
18
II. Dạng mệnh đề
Bài tập: Lập bảng chân trị của những dạng mệnh đề sau

E(p,q,r) = p (q r)  q

F(p,q) = (p q) p
19
II. Dạng mệnh đề
2. Tương đương logic: Hai dạng mệnh đề E và F được gọi là tương đương logic nếu chúng có cùng bảng chân trị.
Ký hiệu E  F (hay E ≡ F).
Ví dụ (p  q)  p   q
Dạng mệnh đề được gọi là hằng đúng nếu nó luôn lấy giá trị 1

Dạng mệnh đề gọi là hằng sai (hay mâu thuẩn nếu nó luôn lấy giá trị 0.
Định lý: Hai dạng mệnh đề E và F tương đương với nhau khi và chỉ khi EF là hằng đúng.
20
II. Dạng mệnh đề
Trong phép tính mệnh đề người ta không phân biệt những mệnh đề tương đương logic với nhau. Do đó đối với những dạng mệnh đề có công thức phức tạp, ta thường biến đổi để nó tương đương với những mệnh đề đơn giản hơn.
Để thực hiện các phép biến đổi ta sử dụng các qui tắc thay thế và quy luật logic.
21
Hệ quả logic: F được gọi là hệ quả logic của E nếu EF là hằng đúng.
Ký hiệu E  F

Ví dụ: (p  q)   p
II. Dạng mệnh đề
Các qui tắc thay thế

Qui tắc thay thế 1. Trong dạng mệnh đề E, nếu ta thay thế biểu thức con F bởi một dạng mệnh đề tương đương logic thì dạng mệnh đề thu được vẫn còn tương đương logic với E.
Qui tắc thay thế 2 Giả sử dạng mệnh đề E(p,q,r…) là một hằng đúng. Nếu ta thay thế những nơi p xuất hiện trong E bởi một F(p’,q’,r’) thì dạng mệnh đề nhận được theo các biến q,r…,p’,q’,r’,… vẫn còn là một hằng đúng.
Ví dụ. (p  q)  r (p   q)  r
22
II. Dạng mệnh đề
Cơ sở Logic
2. Tương đương logic: Hai dạng mệnh đề E và F được gọi là tương đương logic nếu chúng có cùng bảng chân trị.
Ký hiệu E  F.
Ví dụ (p  q)  p   q
Dạng mệnh đề được gọi là hằng đúng nếu nó luôn lấy giá trị 1

Dạng mệnh đề gọi là hằng sai (hay mâu thuẩn nếu nó luôn lấy giá trị 0.
Định lý: Hai dạng mệnh đề E và F tương đương với nhau khi và chỉ khi EF là hằng đúng.
II. Dạng mệnh đề
Cơ sở Logic
2. Luật De Morgan
 (p  q)   p   q
 (p  q)   p   q
3. Luật giao hoán p  q  q  p
p  q  q  p
4. Luật kết hợp (p  q)  r  p  (q  r)
(p  q)  r <=> p  (q  r)
Các luật logic
Phủ định của phủ định
  p  p
II. Dạng mệnh đề
Cơ sở Logic
5. Luật phân phối
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
6. Luật lũy đẳng p  p  p
p  p  p
7. Luật trung hòa p  0  p
p  1  p
II. Dạng mệnh đề
Cơ sở Logic
8. Luật về phần tử bù
p   p  0
p   p  1

9. Luật thống trị p  0  0
p  1  1

10. Luật hấp thụ p  (p  q)  p
p  (p  q)  p
II. Dạng mệnh đề
Cơ sở Logic
11. Luật về phép kéo theo:
p  q  p  q
 q   p



Ví dụ: Nếu trời mưa thì đường trơn  nếu đường không trơn thì trời không mưa
Bài tập:
Cho p, q, r là các biến mệnh đề. Chứng minh rằng:
(p  r)  (q r)  (p  q)  r
II. Dạng mệnh đề
Cơ sở Logic
(p  r)  (q  r)
( p  r )  ( q  r)
( p  q )  r
( p  q )  r
( p  q )  r
( p  q )  r
III. qui tắc suy diễn
Cơ sở Logic
Trong các chứng minh toán học, xuất phát từ một số khẳng định đúng p, q, r…(tiền đề), ta áp dụng các qui tắc suy diễn để suy ra chân lí của một mệnh đề h mà ta gọi là kết luận.

Nói cách khác, dùng các qui tắc suy diễn để chứng minh:
(pqr… ) có hệ quả logic là h
Ta thường mô hình hóa phép suy luận đó dưới dạng:
p
q
r
…
h
III. Qui tắc suy diễn
Các qui tắc suy diễn
1. Qui tắc khẳng định (Modus Ponens)
Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng:




Hoặc dưới dạng sơ đồ







30
III. Qui tắc suy diễn
Nếu An học chăm thì An học tốt.
Mà An học chăm
Suy ra An học tốt.
Trời mưa thì đường ướt.
Mà chiều nay trời mưa.
Suy ra Chiều nay đường ướt.
31
III. Qui tắc suy diễn
2. Quy tắc phủ định
Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng:


Hoặc dưới dạng sơ đồ


32
III. Qui tắc suy diễn
Nếu An đi học đầy đủ thì An đậu toán rời rạc.
An không đậu toán rời rạc.

Suy ra: An không đi học đầy đủ
33
III. Qui tắc suy diễn
3. Qui tắc tam đoạn luận
Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng:


Hoặc dưới dạng sơ đồ


34
III. Qui tắc suy diễn
Nếu trời mưa thì đường ướt.
Nếu đường ướt thì đường trơn
Suy ra nếu trời mưa thì đường trơn.
Một con ngựa rẻ là một con ngựa hiếm
Cái gì hiếm thì đắt
Suy ra một con ngựa rẻ thì đắt ()
35
III. Qui tắc suy diễn
4. Qui tắc tam đoạn luận rời
Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng:


Hoặc dưới dạng sơ đồ


Ý nghĩa của qui tắc: nếu trong hai trường hợp có thể xảy ra, chúng ta biết có một trường hợp sai thì chắc chắn trường hợp còn lại sẽ đúng.
36
III. Qui tắc suy diễn
Chủ nhật, An thường lên thư viện hoặc về quê
Chủ nhật này, An không về quê

Suy ra: An lên thư viện
37
5. Quy tắc nối liền
Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng:


Hoặc dưới dạng sơ đồ


III. Qui tắc suy diễn
38
III. Qui tắc suy diễn
Hôm nay An học bài.
Hôm nay An phụ mẹ nấu ăn.

Suy ra: Hôm nay An học bài và phụ mẹ nấu ăn.
39
6. Quy tắc đơn giản
Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng:


Hoặc dưới dạng sơ đồ


III. Qui tắc suy diễn
40
III. Qui tắc suy diễn
Hôm nay An đi học Toán rời rạc và học Anh văn.

Suy ra: Hôm nay An học Toán rời rạc.
41
III. Qui tắc suy diễn
7. Qui tắc mâu thuẫn (chứng minh bằng phản chứng)
Ta có tương đương logic



Để chứng minh vế trái là một hằng đúng ta chứng minh nếu thêm phủ định của q vào các tiền đề thì được một mâu thuẫn.
Cho a, b, c là 3 đường thẳng phân biệt và a//c và b//c chứng minh a//b.
42
III. Qui tắc suy diễn
Hãy chứng minh:
Cm bằng phản chứng.
43
III. Qui tắc suy diễn
Cơ sở Logic
8. Qui tắc chứng minh theo trường hợp
Dựa trên hằng đúng:


Ý nghĩa: nếu p suy ra r và q suy ra r thì p hay q cũng có thể suy ra r.
Chứng minh rằng:
III. Qui tắc suy diễn
Cơ sở Logic
9. Phản ví dụ
Để chứng minh một phép suy luận là sai hay


không là một hằng đúng. Ta chỉ cần chỉ ra một phản ví dụ.

Suy luận sau có đúng ko?
Company Logo
Ông Minh nói rằng nếu không được tăng lương thì ông ta sẽ nghỉ việc. Mặt khác, nếu ông ấy nghỉ việc và vợ ông ấy bị mất việc thì phải bán xe.Biết rằng nếu vợ ông Minh hay đi làm trễ thì trước sau gì cũng sẽ bị mất việc và cuối cùng ông Minh đã được tăng lương.
Suy ra nếu ông Minh không bán xe thì vợ ông ta đã không đi làm trễ
p: ông Minh được tăng lương.
q: ông Minh nghỉ việc.
r: vợ ông Minh mất việc.
s: gia đình phải bán xe.
t: vợ ông hay đi làm trể.
s=0
t=1
p=1
q=0
r=1
III. Qui tắc suy diễn
Chứng minh suy luận sau:
47
III. Qui tắc suy diễn
Cơ sở Logic
III. Qui tắc suy diễn
49
III. Qui Tắc Suy Diễn
50
III. Qui Tắc Suy Diễn
51
III. Qui Tắc Suy Diễn
52
à
53
Tập hợp: Là một bộ sưu tập gồm các vật. Mỗi vật được gọi là một phần tử của tập hợp
Kí hiệu: A, B , X,…
Nếu x là phần tử của tập hợp A, ta kí hiệu x  A

Ví dụ:
N ={0,1,2,…} là tập hợp các số tự nhiên.
Z = {0,1,-1,2,-2,…} tập hợp các số nguyên.
Q = {m/n | m,n  Z, n≠0 } tập hợp các số hữu tỉ.
R: tập hợp các số thực.
C: Tập hợp các số phức.



IV. Logic vị từ
54
IV. Logic vị từ
1. Định nghĩa Vị từ là một khẳng định p(x,y,..), trong đó x,y...là các biến thuộc tập hợp A, B,.. Cho trước sao cho:
- Bản thân p(x,y,..) không phải là mệnh đề.
- Nếu thay x,y,.. Thành giá trị cụ thể thì p(x,y,..) là mệnh đề.
Ví dụ.
- p(n) = “n +1 là số nguyên tố”.
- q(x,y) = “x2 + y = 1” .
- r(x,y,z) = “x2 + y2 >z”.
55
IV. Logic vị từ
2. Các phép toán trên vị từ Cho trước các vị từ p(x), q(x) theo một biến x  A. Khi ấy, ta cũng có các phép toán tương ứng như trên mệnh đề

Phủ định p(x)
Phép nối liền p(x)q(x)
Phép nối rời p(x)q(x)
Phép kéo theo p(x)q(x)
Phép kéo theo hai chiều p(x)  q(x)
56
IV. Logic vị từ
Khi xét một mệnh đề p(x) với x  A. Ta có các trường hợp sau
TH1. Khi thay x bởi 1 phần tử a tùy ý A, ta có p(a) đúng.
TH2. Với một số giá trị a  A, ta có p(a) đúng.
TH3. Khi thay x bởi 1 phần tử a tùy ý A, ta có p(a) sai.
Ví dụ. Cho vị từ p(x) với xR
- p(x) = “x2 +1 >0”
- p(x) = “x2 -2x+1=0”
- p(x) = “x2 -2x+3=0”
57
IV. Logic vị từ
Định nghĩa. Cho p(x) là một vị từ theo một biến xác định trên A. Ta định nghĩa các mệnh đề lượng từ hóa của p(x) như sau:
- Mệnh đề “Với mọi x thuộc A, p(x) ”, kí hiệu bởi
“x  A, p(x)”,
là mệnh đề đúng khi và chỉ khi p(a) luôn đúng với mọi giá trị a  A.

- Mệnh đề “Tồn tại (ít nhất )hay có (ít nhất) một x thuộc A, p(x))” kí hiệu bởi :
“x  A, p(x)” ,
là mệnh đề đúng khi và chỉ khi có ít nhất một giá trị x = a0 nào đó sao cho mệnh đề p(a0) đúng.
58
IV. Logic vị từ
Ví dụ. Các mệnh đề sau đúng hay sai
“x  R, x2 + 3x + 1  0” (S)
“x  R, x2 + 3x + 1  0” (Đ)
“x  R, x2 + 1  2x” (Đ)
“x  R, x2 + 1 < 0” (S)
: được gọi là lượng từ phổ dụng
 : được gọi là lượng từ tồn tại
59
IV. Logic vị từ
Định nghĩa. Cho p(x, y) là một vị từ theo hai biến x, y xác định trên AB. Ta định nghĩa các mệnh đề lượng từ hóa của p(x, y) như sau:
“x  A,y  B, p(x, y)” = “x  A, (y  B, p(x, y))”
“x  A, y  B, p(x, y)” = “x  A, (y  B, p(x, y))”
“x  A, y  B, p(x, y)” = “x  A, (y  B, p(x, y))”
“x  A, y  B, p(x, y)” = “x  A, (y  B, p(x, y))”
60
IV. Logic vị từ
Ví dụ.
- Mệnh đề “x  R, y  R, x + 2y < 1” đúng hay sai?
Mệnh đề sai vì tồn tại x0 = 0, y0 = 1  R mà x0 + 2y0  1.
- Mệnh đề “x  R, y  R, x + 2y < 1” đúng hay sai?
Mệnh đề đúng vì với mỗi x = a  R, tồn tại ya  R như
ya = –a/2, sao cho a + 2ya < 1.
61
IV. Logic vị từ
Ví dụ.
- Mệnh đề “x  R, y  R, x + 2y < 1” đúng hay sai?
Mệnh đề sai vì tồn tại x0 = 0, y0 = 1  R mà x0 + 2y0  1.
- Mệnh đề “x  R, y  R, x + 2y < 1” đúng hay sai?
Mệnh đề đúng vì với mỗi x = a  R, tồn tại ya  R như
ya = –a/2, sao cho a + 2ya < 1.
62
IV. Logic vị từ
Ví dụ.
- Mệnh đề “x  R, y  R, x + 2y < 1” đúng hay sai
Mệnh đề sai vì không thể có x = a  R để bất đẳng thức
a + 2y < 1 được thỏa với mọi y  R (chẳng hạn, y = –a/2 + 2 không thể thỏa bất đẳng thức này).
- Mệnh đề “x  R, y  R, x + 2y < 1” đúng hay sai?
Mệnh đề đng vì tồn tại x0 = 0, y0 = 0  R chẳng hạn thỏa
x0 + 2y0 < 1.
63
IV. Logic vị từ
Định lý. Cho p(x, y) là một vị từ theo hai biến x, y xác định trên AB. Khi đó:
1) “x  A, y  B, p(x, y)”  “y  B, x  A, p(x, y)”
2) “x  A, y  B, p(x, y)”  “y  B, x  A, p(x, y)”
3) “x  A, y  B, p(x, y)”  “y  B, x  A, p(x, y)”

Chiều đảo của 3) nói chung không đúng.
64
IV. Logic vị từ
Phủ định của mệnh đề lượng từ hóa vị từ p(x,y,..) có được bằng các thay  thành , thay  thành  và vị từ p(x,y,..) thành  p(x,y,..).
Với vị từ theo 1 biến ta có :

65
IV. Logic vị từ
Với vị từ theo 2 biến.
66
IV. Logic vị từ
Ví dụ phủ định các mệnh đề sau

- “x  A, 2x + 1  0”

- “ > 0,  > 0, x  R,  x – a <   f(x) – f(a) < ”.
Trả lời

“x  A, 2x + 1 > 0”

“ > 0,  > 0, x  R,  x – a <   (f(x) – f(a)  )”.
67
IV. Logic vị từ
Qui tắc đặc biệt hóa phổ dụng:
Nếu một mệnh đề đúng có dạng lượng từ hóa trong đó một biến x  A bị buộc bởi lượng từ phổ dụng , khi ấy nếu thay thế x bởi a  A ta sẽ được một mệnh đề đúng
Ví dụ:
“Mọi người đều chết”
“Socrate là người”
Vậy “Socrate cũng chết”
68
V. Tập hợp
1. Khái niệm
Tập hợp là một khái niệm cơ bản của Toán học.  
Ví dụ:
1) Tập hợp sinh viên của một trường đại học.
2) Tập hợp các số nguyên
3) Tập hợp các trái táo trên một cây cụ thể.
Sơ đồ Ven:
Cơ sở Logic

Lực lượng của tập hợp
Số phần tử của tập hợp A được gọi là lực lượng của tập hợp, kí hiệu |A|.
Nếu A có hữu hạn phần tử, ta nói A hữu hạn.
Ngược lại, ta nói A vô hạn.
Ví dụ.
N, Z, R, là các tập vô hạn
X={1,3,4,5} là tập hữu hạn |X|=4
V. Tập hợp
a. Cách xác định tập hợp
Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp
A={1,2,3,4,a,b}
Đưa ra tính chất đặc trưng
B={ n N | n chia hết cho 3}
b. Quan hệ giữa các tập hợp
Tập hợp con
Hai tập hợp bằng nhau



A
B
B
A
V. Tập hợp
Cơ sở Logic

2. Các phép toán tập hợp
a. Phép hợp
Hợp của 1 tập hợp A và B là tập hợp tạo bởi tất cả các phần tử thuộc A hoặc thuộc B.

Ký hiệu:
Ví dụ:




A
B
V. Tập hợp
Tính chất:
1. Tính lũy đẳng
2. Tính giao hoán
3. Tính kết hợp
4. Hợp với tập rỗng
b. Phép giao
Giao của 2 tập hợp A và B là tập hợp tạo bởi các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B.

Ký hiệu:


V. Tập hợp
Tính chất:
1) Tính lũy đẳng
2) Tính giao hoán
3) Tính kết hợp
4) Giao với tập rỗng

Tính phân phối của phép giao và hợp

V. Tập hợp
Tập bù: Khi thì BA gọi là bù của A trong B. Ký hiệu hay
c. Hiệu của 2 tập hợp
Hiệu của hai tập hợp là tập tạo bởi tất cả các phần tử thuộc tập A mà không thuộc tập B

Ký hiệu AB


Luật De Morgan:
V. Tập hợp
V. Tập hợp
3. Tập các tập con của một tập hợp
Cho X là một tập hợp. Khi đó tập tất cả các tập con của X được ký hiệu là P(X)

4. Tích Đề Các:
Tích Đề các của tập hợp A với tập hợp B là tập hợp bao gồm tất cả các cặp thứ tự (x,y) với

Ký hiệu A.B hoặc
Chú ý: Tích của 2 tập hợp không có tính chất giao hoán.

V. Tập hợp
V. Tập hợp
Các phép toán giao, hợp, tích có thể mở rộng cho nhiều tập hợp
VI. Ánh xạ
1. Định nghĩa. Cho hai tập hợp X, Y  . Ánh xạ giữa hai tập X và Y là một qui tắc sao cho mỗi x thuộc X tồn tại duy nhất một y thuộc y để y = f(x)
Ta viết:
VI. Ánh xạ
Không là ánh xạ
VI. Ánh xạ
Hai ánh xạ bằng nhau. Hai ánh xạ f và g từ X vào Y được gọi là bằng nhau nếu x  X, f(x) = g(x).
Ví dụ: Xét ánh xạ f(x)=(x-1)(x+1) và g(x) =x2-1 từ R->R
Ảnh và ảnh ngược.
Cho ánh xạ f từ X vào Y và A  X, B  Y. Ta định nghĩa:
f(A) = {f(x)  x  A} = {y  Y  x  A, y = f(x)} được gọi là ảnh của A
VI. Ánh xạ
f–1(B) = {x  X  f(x)  B} được gọi là ảnh ngược của B
f(A) = {f(x)  x  A} = {y  Y  x  A, y = f(x)}
Như vậy y  f(A)  x  A, y = f(x);
y  f(A)  x  A, y  f(x).
Như vậy x  f–1(B)  f(x)  B
VI. Ánh xạ
Ví dụ. Cho f: R R được xác định f(x)=x2 +1
Ta có
f([1,3])=[2,10]
f([-2,-1])=[2,5]
f([-1,3])=[1,10]
f((1,5)) = (2,26)

f–1(1)={0}
f–1(2)={-1,1}
f–1(-5)= 
f–1([2,5])= [-2,-1] [1,2]

VI. Ánh xạ
2. Phân loại ánh xạ
a. Đơn ánh Ta nói f : X  Y là một đơn ánh nếu hai phần tử khác nhau bất kỳ của X đều có ảnh khác nhau, nghĩa là:

Ví dụ. Cho f: N R được xác định f(x)=x2 +1 (là đơn ánh)

g: R R được xác định g(x)=x2 +1 (không đơn ánh)
VI. Ánh xạ
x, x`  X, x  x`  f(x)  f(x` )
Như vậy f : X  Y là một đơn ánh
 (x, x`  X, f(x) = f(x`)  x = x`).
 (y  Y, f–1(y) có nhiều nhất một phần tử).
 (y  Y, phương trình f(x) = y (y được xem như tham số) có nhiều nhất một nghiệm x  X.
f : X  Y không là một đơn ánh
 (x, x`  X, x  x` và f(x) = f(x`)).
 (y  Y, phương trình f(x) = y (y được xem như tham số) có ít nhất hai nghiệm x  X
VI. Ánh xạ
b. Toàn ánh Ta nói f : X  Y là một toàn ánh f(X)=Y, nghĩa là:
Ví dụ. Cho f: R R được xác định f(x)=x3 +1 (là toàn ánh)

g: R R được xác định g(x)=x2 +1 (không là toàn ánh)
Toàn ánh  f(X)=Y. Như vậy
f : X  Y là một toàn ánh
 (y  Y, x  X, y = f(x))
 (y  Y, f–1(y)  );
 y  Y, phương trình f(x) = y (y được xem như tham số) có nghiệm x  X.
f : X  Y không là một toàn ánh
 (y  Y, x  X, y  f(x));
 (y  Y, f–1(y)  );
VI. Ánh xạ
VI. Ánh xạ
c. Song ánh Ta nói f : X  Y là một song ánh nếu f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh.
Ví dụ. Cho f: R R được xác định f(x)=x3 +1 (là song ánh)

g: R R được xác định g(x)=x2 +1 (không là song ánh)
VI. Ánh xạ
Tính chất.
f : X  Y là một song ánh
 (y  Y, !x  X, y = f(x));
 (y  Y, f–1(y) có đúng một phần tử);
 y  Y, phương trình f(x) = y (y được xem như tham số) có duy nhất một nghiệm x  X.
f–1 : Y  X
y f–1(y) = x với f(x) = y.
VI. Ánh xạ
Ví dụ. Cho f là ánh xạ từ R vào R f(x) =2x+1.

Khi đó f–1(x)=(y-1)/2
VI. Ánh xạ
VI. Ánh xạ
Ví dụ. Tìm gof, fog
V. Quy nạp
Phương pháp
Với những bài toán chứng minh tính đúng đắn của một biểu thức mệnh đề có chứa tham số n, như P(n). Quy nạp toán học là một kỹ thuật chứng minh P(n) đúng với mọi số tự nhiên n ≥N0.
- Quá trình chứng minh quy nạp bao gồm 2 bước:
Bước cơ sở: Chỉ ra P(N0) đúng.
Bước quy nạp: Chứng minh nếu P(k) đúng thì P(k+1) đúng. Trong đó P(k) được gọi là giả thiết quy nạp.
Chứng minh 1 + 3 + 5 + 7 + …+ (2n-1)= n2 với n ≥ 1
V. Quy nạp
Gọi P(n) = “1+3+…(2n-1)=n2 “
+ Bước cơ sở:
Hiển nhiên P(1) đúng vì 1= 12.
Ví dụ. Chứng minh 1+3+…+(2n-1)=n2 với mọi số nguyên dương n.
Từ giả thiết quy nạp ta có:


- Suy ra, P(k+1) đúng.
Vậy theo nguyên lý quy nạp P(n) đúng với mọi số nguyên dương n
V. Quy nạp
+ Bước quy nạp:
- Giả sử P(k) đúng, tức là

- Ta phải chỉ ra rằng P(k+1) đúng, tức là


V. Quy nạp